概率基础：事件、条件概率与独立性

概率计算首先需要把问题表达成事件。本文根据数理统计第一课笔记整理，把事件运算、条件概率和独立性放在同一条主线上。

样本空间与事件

一次随机试验的可能结果叫样本点，所有可能结果组成样本空间 \(\Omega\)。在初等有限模型中，事件是样本空间的子集。例如掷一次骰子：

\[\Omega=\{1,2,3,4,5,6\},\qquad A=\{2,4,6\}\]

事件 \(A\) 表示点数为偶数。并集表示至少一个事件发生，交集表示同时发生，补集表示事件不发生。

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]

交集被加了两次，因此减去一次。只有交集为空时，才能直接把两个概率相加。

概率公理与等可能计数

概率满足非负性、\(P(\Omega)=1\) 和对两两互斥事件的可列可加性。由此得到：

\[P(A^c)=1-P(A),\qquad P(\varnothing)=0\]

有限且等可能的样本空间中，可用有利结果数除以全部结果数：

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\]

“等可能”是前提，不能只因为列出了若干结果，就默认它们概率相同。连续区域中的长度或面积比也依赖相应的均匀分布假设。

条件概率：已知信息改变参考范围

当 \(P(B)>0\) 时：

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

例如已知骰子点数为偶数，问点数大于 3 的概率。参考范围变成 \(\{2,4,6\}\)，其中满足条件的有 \(\{4,6\}\)，所以概率为 \(2/3\)。

条件概率的作用是重新归一化。乘法公式则反过来把条件概率还原为交集概率：

\[P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)\]

贝叶斯公式：反转条件方向

\[P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}\]

考虑一个纯粹用于计算的邮件筛选例子：1000 封邮件中有 10 封垃圾邮件，规则标记了其中 9 封，同时错误标记了 99 封普通邮件。在被标记的 108 封中，垃圾邮件只有 9 封，因此“被标记后是垃圾邮件”的概率为 \(9/108=1/12\)。

对垃圾邮件的检出率是 \(9/10\)，但这与被标记邮件的垃圾比例是两个条件方向。原始占比和误报都会影响后者。

独立与互斥为什么不同

概念	数学条件	含义
独立	\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)	知道一个事件发生，不改变另一个的概率
互斥	\(A\cap B=\varnothing\)	两个事件不能同时发生

如果两个事件概率都大于 0 且互斥，交集概率为 0，而概率乘积大于 0，所以它们不独立。某个事件概率为 0 的退化情形应单独考虑。

计算前可以依次检查：随机结果是什么、结果是否等可能、已经知道什么，以及题目求的是哪一个条件方向。