LIF 模型：从 RC 电路到离散更新

泄漏积分发放（Leaky Integrate-and-Fire，LIF）是一个简化的计算模型。它保留状态积累、泄漏、阈值发放和重置，不模拟完整动作电位波形。本文根据课程中的推导笔记整理。

从 RC 电路写出方程

用 \(v\) 表示相对静息基线的电压，\(I_{phys}\) 表示物理输入电流：

\[C\frac{dv}{dt}=I_{phys}-\frac vR\]

定义 \(\tau=RC\)，并把输入换成具有电压单位的 \(u=RI_{phys}\)，得到：

\[\tau\frac{dv}{dt}=-v+u\]

有些资料把归一化后的 \(u\) 也叫作 \(I\)。阅读时应先看定义，不能把电流值与电压值直接相加。参考 Neuronal Dynamics 的模型介绍。

泄漏与恒定输入

输入为常数、且尚未触发重置时，解为：

\[v(t)=u+(v(0)-u)e^{-t/\tau}\]

无输入时，状态逐渐回到基线；恒定输入时，状态逐渐接近 \(u\)。如果初始电位低于阈值，且稳态也低于阈值，就不会因为“等待足够久”自动发放。

发放是附加规则

阈值判断、发放、重置和不应期不是上述线性微分方程自然产生的全部行为，需要单独定义：达到阈值输出脉冲，将状态设为重置值，并按模型约定处理不应期。

因此，发放时电位的突变不能用连续泄漏方程直接解释。不应期内是否积分、是否保持重置电位，也要在实现中明确。

Euler 离散化

\[v_{k+1}=\left(1-\frac{\Delta t}{\tau}\right)v_k+\frac{\Delta t}{\tau}u_k\]

每步先计算候选状态，再检查阈值和不应期，最后决定是否输出脉冲及重置。计算顺序影响边界行为，应在记录中写清楚。

对线性泄漏部分，Euler 的稳定性与步长有关；只因为公式短，就不能任意放大时间步。即使数值稳定，过大的步长仍会降低发放时间的精度。

参数检查

参数	检查点
时间常数	与时间步使用同一单位
输入	明确物理电流还是归一化输入
阈值与重置	相对于同一个电压基线
不应期	明确这段时间的状态更新规则

增大时间常数会让状态变化更慢；它对发放频率的影响还依赖输入和其他参数，不能单独概括为“一定更容易发放”。